Godina izdanja: Ostalo
ISBN: Ostalo
Jezik: Engleski
Oblast: Matematika
Autor: Strani

Lepo očuvano

1981

First edition


Introduction to Algebra and Trigonometry
1st Edition - January 1, 1981

Authors: Bernard Kolman
Arnold Shapiro

Introduction to Algebra and Trigonometry provides a complete and self-contained presentation of the fundamentals of algebra and trigonometry. This book describes an axiomatic development of the foundations of algebra, defining complex numbers that are used to find the roots of any quadratic equation. Advanced concepts involving complex numbers are also elaborated, including the roots of polynomials, functions and function notation, and computations with logarithms. This text also discusses trigonometry from a functional standpoint. The angles, triangles, and applications involving triangles are likewise treated. Other topics include analytic geometry, conic sections, and use of a coordinate system to prove theorems from plane, and matrix operations and inverses. This publication is valuable to students aiming to gain more knowledge of the fundamentals of mathematics.

Algebra (arap. الجبر „al-gebr“ ponovno sastavljanje razdvojenih delova, sjedinjavanje[1]) je grana matematike koja istražuje odnose i svojstva brojeva pomoću znakova. Geneza naziva vodi do knjige arapskog matematičara Al Horezmija Hisab al džabr val mukabala što se u slobodnijem prevodu može biti Knjiga o svođenju i dvostrukom oduzimanju. Postupak se prvo odnosio na uređivanje leve i desne strane kod jednačina ali je kasnije, razvojem matematike, značajno proširen.

Izvorno se pod „algebrom“ podrazumevala teorija „algebarskih“ jednačina, u kojima su pomoću „algebarskih“ računskih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje itd.) povezane poznate i nepoznate veličine.[2] Algebra je ujedinjavajuća nit skoro svih oblasti matematike.[3] Kao takva, ona obuhvata sve od rešavanja elementarnih jednačina do studiranja apstrakcija kao što su grupe, prstenovi, i polja. Osnovni delovi algebre se nazivaju elementarnom algebrom; apstraktniji delovi se nazivaju apstraktnom algebrom ili modernom algebrom. Elementarna algebra se generalno smatra neophodnim za svako istraživanje matematike, nauke ili inženjerstva, kao i za primene u oblastima poput medicine i ekonomije. Apstraktna algebra je glavna oblast napredne matematike, koju uglavnom proučavaju profesionalni matematičari. Danas pojam algebre označava i opštiju teoriju matematičkih struktura, u kojoj se posebno istražuju strukturne jednakosti između tako različito usmerenih oblasti kao što su teorija brojeva, geometrija ili algebra u tradicionalnom smislu.

Elementarna algebra se razlikuje od aritmetike po upotrebi apstrakcija, kao što je korištenje slova za označavanje brojeva koji su bilo nepoznati ili mogu da imaju mnoge vrednosti.[4] Na primer, u
x
+
2
=
5
{\displaystyle x+2=5} slovo
x
x je nepoznata, ali se zakon inverzija može koristiti za otkrivanje te vrednosti:
x
=
3
{\displaystyle x=3}. U E = mc2, slova
E
{\displaystyle E} i
m
m su promenljive, a slovo
c
{\displaystyle c} je konstanta, brzina svetlosti u vakuumu. Algebra daje metode za rešavanje jednačina i izražavanje formula koje su mnog lakše (za one koji znaju kako da ih koriste) od starijeg metoda pisanja svega rečima.

Važne algebarske strukture su, recimo, grupe, prsteni, tela i asocijacije. Sve tvorevine koje pokazuju neku određenu strukturu nazivaju se „modeli“ ove strukture. Rezultati na koje se smera istraživanjima apstraktnih struktura pokatkad važe i za njihove modele. Nadovezujući se na Mathematical Analysis of Logic (1847) Džordž Bula, algebarska istraživanja su postala značajna i za formalnu logiku. Važnu ulogu tu igraju posebno „bulovske asocijacije“ ili „bulovske algebre“. Pored algebarskih struktura, govori se još i ο „strukturama uređenja“ i „topološkim strukturama“.

Reč algebra se isto tako koristi na nekoliko specijalizovanih načina. Specijalna vrsta matematičkog objekta u apstraktnoj algebri se naziva „algebra“, i ta reč se koristi, na primer, u frazama linearna algebra i algebarska topologija. Matematičar koji se bavi istraživanjem algebre se naziva algebrista.

Trigonometrija (grč. τριγονο — trougao i grč. μετρειν — merenje, mera),[1][2] deo je matematike i geometrije koji se bavi izračunavanjem elemenata trougla pronalaženjem zakonitosti zavisnosti u njihovim odnosima, kao i uspostavljanjem funkcija uglova koje ih definišu.[3] Prvobitno je isključivo izračunavala vrednosti elemenata trougla. Njen prvobitni cilj je danas prevaziđen i primena trigonometrije na osnovu izračunavanja trigonometrijskih funkcija, van svakog posmatranja trougla, učinila je od trigonometrije značajnu oblast matematike i geometrije.[4] Ona je od ogromnog praktičnog značaja u različitim oblastima kao što su inženjerstvo, arhitektura, geodezija, navigacija i astronomija. Trigonometrijske funkcije imaju posebno važnu ulogu u matematičkoj analizi i koriste se za predstavljanje talasa i drugih periodičnih pojava.

Poreklo[uredi | uredi izvor]
Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. Tamo je nađena vavilonska kamena ploča (oko 1900—1600. p. n. e.) koja sadrži probleme sa relacijama koje odgovaraju savremenom
sec
2
{\displaystyle \sec ^{2}}. Egipatski papirus Rind (oko 1650. p. n. e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, pre nego samih uglova.

Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Hipokrata iz Kiosa (Elementi, oko 430. p. n. e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova kružnice i tetiva. Hiparh je 140. p. n. e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Aleksandrije (Sferna geometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernu trigonometriju. Ptolemej (Almagest, oko 100. n. e.) je napravio tablicu tetiva uglova između 0,5° i 180° sa intervalom od pola stepena. On je takođe istraživao trigonometrijske identitete.

Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su ostvarili napredak razmeštanjem tetiva preuzetih od Grka na polu tetive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentom našoj sinusnoj funkciji. Prve takve tablice bile su u Sidhantasu (sistem za astronomiju) u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematičara preko arapskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uveli su trigonometriju u Evropu.

Osoba odgovorna za „modernu“ trigonometriju bio je renesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alat za astronomska izračunavanja. Regiomontanus (De triangulis omni modis, 1464; publikovano 1533) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543) i njegov učenik Retikus. U Opus palatinum de trianulis (kompletirao njegov učenik 1596), Retikus je ustanovio upotrebu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija, praveći tablice njihovih vrednosti, i držeći se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglom trouglu (radije nego tradicionalne polu-tetive krugova).

Moderna analitička geometrija datira od vremena Fransoe Vijeta, koji je uradio tablice šest funkcija do najbliže minute (1579). Vijeta je takođe izveo formulu za proizvod, tangensnu formulu i formule za više uglova. Krajem XV veka je prvi put upotrebljen naziv „trigonometrija“.

Podela[uredi | uredi izvor]
Trigonometrija se deli na sledeće tri oblasti:

Ravanska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava
Trigonometrijske funkcije, posebno:
sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans;
Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkus-funkcije:
Sferna trigonometrija, na površi sfere;
Hiperbolička trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog;
Hiperboličke funkcije:
sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički, tangens hiperbolički, kotangens hiperbolički, sekans hiperbolički i kosekans hiperbolički;
Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije.

Algebra
Trigonometrija