ISBN: Ostalo
Godina izdanja: 228
Jezik: Engleski
Oblast: Matematika
Autor: Strani

Spoljašnjost kao na fotografijama, unutrašnjost u dobrom i urednom stanju! Eng. Jezik!

Algebra (arap. الجبر „al-gebr“ ponovno sastavljanje razdvojenih delova, sjedinjavanje[1]) je grana matematike koja istražuje odnose i svojstva brojeva pomoću znakova. Geneza naziva vodi do knjige arapskog matematičara Al Horezmija Hisab al džabr val mukabala što se u slobodnijem prevodu može biti Knjiga o svođenju i dvostrukom oduzimanju. Postupak se prvo odnosio na uređivanje leve i desne strane kod jednačina ali je kasnije, razvojem matematike, značajno proširen.

Izvorno se pod „algebrom“ podrazumevala teorija „algebarskih“ jednačina, u kojima su pomoću „algebarskih“ računskih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje itd.) povezane poznate i nepoznate veličine.[2] Algebra je ujedinjavajuća nit skoro svih oblasti matematike.[3] Kao takva, ona obuhvata sve od rešavanja elementarnih jednačina do studiranja apstrakcija kao što su grupe, prstenovi, i polja. Osnovni delovi algebre se nazivaju elementarnom algebrom; apstraktniji delovi se nazivaju apstraktnom algebrom ili modernom algebrom. Elementarna algebra se generalno smatra neophodnim za svako istraživanje matematike, nauke ili inženjerstva, kao i za primene u oblastima poput medicine i ekonomije. Apstraktna algebra je glavna oblast napredne matematike, koju uglavnom proučavaju profesionalni matematičari. Danas pojam algebre označava i opštiju teoriju matematičkih struktura, u kojoj se posebno istražuju strukturne jednakosti između tako različito usmerenih oblasti kao što su teorija brojeva, geometrija ili algebra u tradicionalnom smislu.

Elementarna algebra se razlikuje od aritmetike po upotrebi apstrakcija, kao što je korištenje slova za označavanje brojeva koji su bilo nepoznati ili mogu da imaju mnoge vrednosti.[4] Na primer, u {\displaystyle x+2=5}{\displaystyle x+2=5} slovo {\displaystyle x}x je nepoznata, ali se zakon inverzija može koristiti za otkrivanje te vrednosti: {\displaystyle x=3}{\displaystyle x=3}. U E = mc2, slova {\displaystyle E}{\displaystyle E} i {\displaystyle m}m su promenljive, a slovo {\displaystyle c}{\displaystyle c} je konstanta, brzina svetlosti u vakuumu. Algebra daje metode za rešavanje jednačina i izražavanje formula koje su mnog lakše (za one koji znaju kako da ih koriste) od starijeg metoda pisanja svega rečima.

Važne algebarske strukture su, recimo, grupe, prsteni, tela i asocijacije. Sve tvorevine koje pokazuju neku određenu strukturu nazivaju se „modeli“ ove strukture. Rezultati na koje se smera istraživanjima apstraktnih struktura pokatkad važe i za njihove modele. Nadovezujući se na Mathematical Analysis of Logic (1847.) Džordž Bula, algebarska istraživanja su postala značajna i za formalnu logiku. Važnu ulogu tu igraju posebno „bulovske asocijacije“ ili „bulovske algebre“. Pored algebarskih struktura, govori se još i ο „strukturama uređenja“ i „topološkim strukturama“.

Reč algebra se isto tako koristi na nekoliko specijalizovanih načina. Specijalna vrsta matematičkog objekta u apstraktnoj algebri se naziva „algebra“, i ta reč se koristi, na primer, u frazama linearna algebra i algebarska topologija. Matematičar koji se bavi istraživanjem algebre se naziva algebrista.

Reč algebra potiče od arapske reči arap. الجبر (al-jabr sa značenjem „ponovno sastavljanje razdvojenih delova“) od naslova knjige Ilm al-jabr wa`l-muḳābala persijskog matematičara i astronoma el Horezmija. Reč je ušla u engleski jezik tokom petnaestog veka, iz bilo španskog, italijanskog, ili srednjovekovnog latinskog. Ona se originalno odnosila na hiruršku proceduru postavljanja polomljenih ili dislociranih kostiju. Matematičko značenje je prvi put zapisano u šesnaestom veku.[5]

Različita značenja reči „algebra“
Reč „algebra“ ima nekoliko srodnih značenja u matematici, kao pojedinačna reč ili sa kvalifikatorima.

Kao pojedinačna reč „algebra“ označava široku oblast matematike.
Kao pojedinačna reč u jednini ili množini ona označava specifične matematičke strukture, čija precizna definicija zavisi od autora. Obično struktura obuhvata dodavanje, množenje, i skalarno množenje (vidi algebru nad poljem). Kad neki autori koriste termin „algebra“, oni čine podskup sledećih dodatnih pretpostavki: asocijativnost, komutativnost, postojanje elementa identičnosti, i/ili konačnu-dimenzionalnost. U univerzalnoj algebri, reč „algebra“ se odnosi na generalizaciju gornjeg koncepta, što omogućava n-arne operacije.
Sa kvalifikatorom, postoji ista distinkcija.


Elementarna algebra je osnovna algebra koju izučavaju učenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike izuzev aritmetike.[1][2] Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmetičke operacije (poput +, −, ×, ÷), u algebri se takođe koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za označavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju promenljive. One su korisne jer:

omogućavaju da se generalizacije aritmetičkih jednačina (i nejednačina) izraze u obliku zakona (kao što je {\displaystyle a+b=b+a}{\displaystyle a+b=b+a} za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izučavanju svojstava realnih brojeva.
omogućavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promenljiva može da predstavlja neku vrednost koja nije poznata, ali može biti rešena kroz formulaciju i manipulaciju jednačinama.
omogućavaju proučavanje matematičkih odnosa izmeću veličina (poput ako prodaš x karata, onda će tvoj profit iznositi {\displaystyle 3x-10}{\displaystyle 3x-10} dinara).
U elementarnoj algebri, izraz može da sadrži brojeve, promenljive i aritmetičke operacije. Sledi nekoliko primera:

{\displaystyle x+3\,}{\displaystyle x+3\,}
{\displaystyle y^{2}+2x-3\,}{\displaystyle y^{2}+2x-3\,}
{\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,}{\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,}
U malo naprednijoj algebri, izraz može da sadrži i elementarne funkcije.

Jednačina predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednačine su tačne za sve vrednosti promenljivih koje se u njima pojavljuju (na primer {\displaystyle a+b=b+a}{\displaystyle a+b=b+a}); takve izraze nazivamo identitetima. Uslovne jednačine su tačne samo za neke vrednosti svojih promenljivih: {\displaystyle x^{2}-1=4.}{\displaystyle x^{2}-1=4.} Vrednosti promenljivih koje čine da jednačina bude tačna se nazivaju rešenjima jednačine....