ISBN: Ostalo
Godina izdanja: 1971
Oblast: Matematika
Jezik: Ruski
Autor: Strani

Upravljanje i nejednakosti (УПРАВЛЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА),u dobrom je stanju.

Autor:M.I.Bašmanov.
Izdavač:Nauka,Moskva 1971.
Format:20cm x 12,5cm.
Broj Strana:96 strana,mek povez.

PREGLED SADRŽAJA

Predgovor 3

Poglavlje I. Uvod
§ 1. Brojevi
§ 2. Izjave 11
§ 3. Funkcije 15

Poglavlje II. Jednačine 23
§ 4. Numeričke jednakosti 20
§ 5. Jednačine 24
§ 6. Odnos jednačina 28
§ 7. Primeri 42
§ 8. Koreni polinoma 48
§ 9. Grafičko proučavanje jednačina 51
§ 10. Sistemi jednačina 56

Poglavlje III. Nejednakosti 64
§ 11. Svojstva nejednačina 64
§ 12. Uslovne nejednakosti 66
§ 13. Nejednakosti sa jednom nepoznatom 72
§ 14. Nejednakosti sa dve nepoznate 78
§ 15. Jednačine i nejednačine sa parametrima 81
§ 16. Grafička metoda 86
Rezime 93

PREDGOVOR
Rešite jednačinu, rešite nejednakost ... Ovakav problem nailazimo vrlo često. Zapisujemo neke formule zaredom, radujemo se kada postaju sve jednostavnije i jednostavnije, konačno, vidimo željenu jednakost, na primer, k = 100, i izjavljujemo da je jednačina rešena. To je poput korenja vrtnog kreveta od nekoga kome nije rečeno šta treba da raste na njemu.
Svrha ove knjige je da vam pomogne da naučite kako da iskorovite baštu tako da ostavite sve što vam je potrebno i izvučete sve što je nepotrebno. Prvo ćemo se upoznati sa svim biljkama koje će rasti u našoj bašti, naučićemo kako da ih brzo prepoznamo, klasifikujemo i prikladno odredimo. Tome je posvećeno prilično dugo uvodno poglavlje. Tada ćemo pokušati da formulišemo tačno šta pokušavamo da postignemo, šta podrazumevamo pod rečima „reši jednačinu“, „reši nejednakost“ itd., Razmisli o značenju tih operacija, onih transformacija koje koristimo za postizanje cilj.
Sve ovo skupa je prilično lako, jer ovde nema složene teorije, većinu knjige čine samo primeri. S druge strane, iako ćemo raditi najpoznatije stvari, ponekad ćemo morati prekinuti navike i stvoriti nove.
Opseg razmatranih pitanja namerno je ograničen: obrađuju se gotovo isključivo algebarske jednačine i nejednakosti, vrlo malo prostora posvećeno je zanimljivim i važnim problemima vezanim za dokazivanje nejednakosti, koji će, nadamo se, biti uključeni u jednu od knjiga u ovu seriju.
Knjiga ima izražen „tehnički“ karakter. U njemu ima mnogo zadataka koji zahtevaju samo dobro vladanje školskim materijalom, blizu takmičarskih zadataka za ulazak u institut. Primeri prikazani u tekstu zahtevaju pažljivu analizu sa olovkom u ruci.
Knjiga je namenjena školarcima od 9 do 10 razreda, nastavnicima i pojedincima koji samostalno uče matematiku.
Duboko sam zahvalan N. B. Vasilievu, D. A. Vladimirovu, V. L. Gutenmakheru, Iu. I. Ioninu, D. K. Faddeevu, koji su pročitali rukopis i učinili mnogo da ga poboljšaju.

UVOD

§ 1. Brojevi
Tokom ove knjige svuda imamo posla sa stvarnim brojevima. Nećemo dati definiciju šta je ovde stvarni broj. Umesto toga, samo navedimo svojstva brojeva koje koristimo.
Šta obično radimo sa brojevima?
Pre svega vršimo aritmetičke operacije - sabiranje i množenje, uz pomoć kojih iz dva broja možemo dobiti treći - njihov zbir ili umnožak.
Ove radnje imaju niz svojstava. Glavna svojstva dodavanja su sledeća: (...)
Broj 0 je izuzetan u pogledu množenja i deljenja. Umnožak bilo kog broja sa nulom jednak je nuli. Deljenje nulom je besmisleno (nedefinisano).
Važno svojstvo množenja je sledeće: ako je umnožak dva broja nula, onda je bar jedan od faktora nula.
Zgodno je skup svih realnih brojeva smatrati skupom svih tačaka određene prave, u ovom slučaju nazvane koordinatnom linijom ili brojevnom osom. Korespondencija brojeva i tačaka na brojevnoj osi u nastavi matematike nije manje važna od, na primer, korespondencije između slova i zvukova u nastavi čitanja. Leži u srcu jezika na kojem su predstavljena čitava poglavlja matematike. Ovaj jezik je toliko poznat da često kažemo „tačka“ umesto reči „broj“ i obrnuto. Zbog toga, na primer, nećemo marljivo razlikovati koordinatnu liniju (brojevnu osu) i brojevnu liniju, odnosno sam skup realnih brojeva 6.
Podsetimo se da bi svaka tačka na osi bila slika određenog broja, sami racionalni brojevi nisu dovoljni. Da bi se cela linija u potpunosti popunila brojevima, u skup racionalnih brojeva dodaju se novi, iracionalni brojevi. Svi ovi brojevi, racionalni i iracionalni, zajedno se nazivaju stvarnim ili stvarnim brojevima.
U ovom „potpunom“ skupu realnih brojeva već je moguće definisati takve operacije kao ekstrakcija korena, podizanje u proizvoljni stepen, uzimanje logaritma (međutim, sve ove operacije su bezuslovno izvršne samo za pozitivne brojeve) i druge. Zadržimo se ukratko na operaciji izdvajanja korena, koja je neophodna za rešavanje algebarskih jednačina.
(...)
Pored operacija na brojevima, moramo uzeti u obzir i odnose između njih - odnos jednakosti (bez obzira da li se međusobno podudaraju ili ne) i odnos poretka,ili, kako ćemo često reći, odnos manje više. (...)
Odnos poretka između brojeva vrlo je jasno prikazan geometrijski. Ako je pozitivan pravac ose odabran sleva nadesno, tada se tačka koja odgovara većem broju nalazi desno. Svojstva odnosa manje-više detaljno će biti istražena u poglavlju II.
U međuvremenu, pređimo na uvođenje nekih notacija za neke skupove na liniji. Ove oznake će se malo razlikovati od onih koje su trenutno prihvaćene u školskim udžbenicima. Međutim, koriste se u većini savremene matematičke literature i korisno je da se studenti upoznaju sa njima.
(...)

KRATAK REZIME

Osnovni pojmovi
1. Numerička jednakost (numerička nejednakost) je iskaz oblika (...)
2. Jednačina (uslovna nejednakost) je promenljivi iskaz oblika (...)
3. Domen definicije jednačine (nejednakosti) - skup vrednosti argumenata za koje su definisane sve funkcije uključene u jednačinu (nejednakost).
4. Rešenje, ili koren jednačine (nejednakosti) - vrednost argumenta, kada se zameni, dobija se tačna jednakost (tačna numerička nejednakost).
5. Rešiti jednačinu (nejednakost) - pronaći skup njenih rešenja.
6. Jednačine (nejednačine) su ekvivalentne - to znači da se skupovi njihovih rešenja podudaraju.

Savet
1. Proces rešavanja jednačine obično se sastoji u dobijanju lanca posledica - jednačina čiji skupovi rešenja sadrže skupove rešenja prethodnih. Dobivši kao posledicu jednačinu, čiji skup rešenja znamo, možemo ili izvršiti proveru ili slediti ekvivalentnost prelaza. Sistemi jednačina rešavaju isti problem.
2. Pri rešavanju nejednakosti i dokazivanju identiteta neophodno je koristiti ekvivalentne prelaze.
3. Prelazak uz pomoć neke operacije iz jedne nejednačine (jednačine) u drugu sigurno je ekvivalentan ako za ovu operaciju postoji „inverzna“ operacija. Na primer, možete pomnožiti obe strane pozitivnom funkcijom, dodati im bilo koju funkciju, primeniti neku monotono rastuću funkciju.
4. Rešenje treba započeti ispisivanjem svih ograničenja u domenu definicije.
5. Kada transformišete jedan deo jednačine (nejednakost) ili prelazite iz jedne jednačine (nejednakosti) u drugu, neophodno je osigurati da izvedene operacije imaju značenje za sve vrednosti promenljivih iz domena definicije.
6. Ponekad je korisno razmotriti nekoliko „slučajeva”: podeliti domene definicije u nekoliko skupova, na svakom od kojih je pogodno izvršiti prelazak na jednostavniju jednačinu (nejednakost).
7. Ako treba da pronađete skup tačaka koji istovremeno zadovoljavaju nekoliko uslova napisanih jednačinama, nejednakostima itd. (Rešite sistem), tada treba da napravite presek skupova tačaka koji zadovoljavaju odvojene uslove.
Ako trebate da pronađete skup tačaka koji zadovoljavaju bar jedan od nekoliko uslova (razmotrite nekoliko mogućih slučajeva), tada morate uzeti uniju skupova tačaka koji zadovoljavaju odvojene uslove.
8. Veoma često, posebno kada se rešavaju nejednakosti i ako je potrebno za rešavanje mnogih posebnih slučajeva, pomažu grafičke ilustracije.
9. Pri rešavanju jednačina i nejednačina sa parametrom, potrebno je u odgovoru navesti rešenja za sve vrednosti parametra.
10. Nekoliko saveta za rešavanje problema za sastavljanje jednačina (sa parametrima): ne zaboravite da zapišete sve uslove i ograničenja; nakon što ste dobili odgovor, proverite da li svi pojmovi u zbiru imaju istu dimenziju (ne možete, na primer, da dodate dužinu i brzinu); proverite odgovor u nekom jednostavnom posebnom slučaju; priključite jednostavnu numeričku vrednost za parametar i pogledajte da li je rezultat verovatan.